Các phép toán thường sử dụng
Bài viết này để lưu lại các kiến thức về Đại số, Thuật toán mà mình đã học qua.
Phép tính số học và tên gọi
Phép cộng ($+$)
\[\begin{align} \text{tổng} &= \text{số hạng} + \text{số hạng} \\ &= \text{hạng tử} + \text{hạng tử} \\ &= \text{số cộng} + \text{số cộng} \end{align}\]Phép trừ ($-$)
\[\text{hiệu} = \text{số bị trừ} - \text{số trừ}\]Phép nhân ($\times$)
\[\begin{align} \text{tích} &= \text{thừa số} + \text{thừa số} \\ &= \text{nhân tử} + \text{nhân tử} \end{align}\]Phép chia ($\div$)
\[\begin{matrix} \text{phân số} \\ \text{thương} \\ \text{tỷ số} \end{matrix} = \frac{\text{số bị chia}}{\text{số chia}} = \frac{\text{tử số}}{\text{mẫu số}}\]Lũy thừa
\[\text{lũy thừa} = {\text{cơ số}}^{\text{số mũ}}\]Căn bậc n ($\sqrt[n]{}$)
\[\text{căn} = \sqrt[\displaystyle \text{bậc}]{\text{số dưới căn}}\]Logarit (log)
\[\text{logarit} = log_{\text{cơ số}}{\text{(số đối logarit)}}\]Hàm lũy thừa $a^n$
\[{\text{cơ số}}^{\text{số mũ}} = a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_\text{nhân n lần}\]Các tính chất thường sử dụng
Với $a > 0$, $b > 0$ và với mọi giá trị $x$ và $y$, ta có:
\[\begin{align} a^xa^y &= a^{x+y} \\ (ab)^x &= a^xb^x \\ (a^x)^y &= a^{xy} \\ \frac{a^x}{a^y} &= a^{x-y} \end{align}\]Với $a > 0$, $b > 0$ và với mọi giá trị $x$ và $y$, với $p$ và $q$ là số nguyên, $q \neq 0$ ta có:
\[\begin{align} a^{p/q} &= \sqrt[q]{a^p} \\ \frac{a^x}{b^x} &= \Big(\frac{a}{b}\Big)^x \\ a^{-x} &= \frac{1}{a^x} \\ a^0 &= 1 \end{align}\]Hàm Logarit
Nếu $x = b^y$ thì $y$ được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và:
\[log_{\text{cơ số}}{\text{(số đối logarit)}} = log_b{x} = y\]Các phép toán với logarit: Với $a,b,c > 0$, $a \neq 1$ và $r$ là số thực bất kì, ta có:
\[\begin{align} log_a(a^x) &= x \\ a^{log_a(x)} &= x \\ log_a(bc) &= log_a(b) + log_a(c) \\ log_a{\Big(\frac{b}{c}\Big)} &= log_a(b) - log_a(c) \\ log_a(b^r) &= rlog_a(b) \\ \end{align}\]Logarit và số tự nhiên: Hàm $log_e(x)$ còn được viết là $ln(x)$, hàm logarit của $e$ có một số tính chất sau:
\[\begin{align} ln(e) &= log_e(e) = 1 \\ ln(e^5) &= log_e(e^5) = 5 \\ ln(1) &= log_e(1) = 0 \end{align}\]Đổi cơ số logarit: Với $a,b > 0$ và $a \neq 1$, $b \neq 1$:
\[log_a(x) = \frac{log_b(x)}{log_b(a)}\]với mọi số thực $x > 0$
Hàm logarit là hàm đơn điệu: Với $x_1$, $x_2$:
\[x_1 \leq x_2 \ \implies log(x_1) \leq log(x_2)\]Đạo hàm một biến
Đạo hàm là một bước rất quan trọng của hầu hết các thuật toán tối ưu trong Học máy và Học sâu.
Định nghĩa của đạo hàm
Giả sử ta có hàm $f(x)$, đạo hàm của $f$ được định nghĩa là
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]nếu giới hạn lim tồn tại.
Tính chất của đạo hàm
Cho $y = f(x)$, trong các tài liệu , các cách viết sau là tương đương nhau:
\[f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = Df(x) = D_x f(x)\]- $DC = 0$ (với $C$ là hằng số)
- $De^x = e^x$
- $Dln(x) = \frac{1}{x}$
Một số quy tắc:
- Quy tắc luỹ thừa:
- Quy tắc nhân hằng số:
- Quy tắc tổng:
- Quy tắc nhân:
- Quy tắc đạo hàm phân thức:
Đạo hàm riêng cho hàm nhiều biến
Với $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là hàm có $n$ biến. Đạo hàm riêng của $y$ theo $x_i$ là
\[\frac{\partial y}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots,x_{i-1}, x_i + h, x_{i+1} \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n)}{h}\]Đối với đạo hàm theo $x_i$, ta có thể xem các giá trị $x_1, \dots, x_n$ (không bao gồm $x_i$) là các hằng số, và tính đạo hàm $y$ theo $x_i$
Các ký hiệu đạo hàm riêng sau có ý nghĩa tương đương:
\[\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f\]Ví dụ:
Giả sử ta có phương trình
\[y = f(x_1, x_2)= 5x_1 + 10x_1x_2 + 3(x_2)^2\]Đạo hàm của $y$ theo $x_1$ và $x_2$ lần lượt là:
\[\begin{align} \frac{\partial y}{\partial x_1} &= \frac{\partial}{\partial x_1}(5x_1 + 10x_1x_2 + 3(x_2)^2) \\[1ex] &= \frac{\partial}{\partial x_1}(5x_1) + \frac{\partial}{\partial x_1} (10x_1x_2) + \frac{\partial}{\partial x_1}(3(x_2)^2) \\[1ex] &= 5 + 10x_2 + 0 \\[1ex] &= 10x_2 + 5 \end{align}\] \[\begin{align} \frac{\partial y}{\partial x_2} &= \frac{\partial}{\partial x_2}(5x_1 + 10x_1x_2 + 3(x_2)^2) \\[1ex] &= \frac{\partial}{\partial x_2}(5x_1) + \frac{\partial}{\partial x_2} (10x_1x_2) + \frac{\partial}{\partial x_2}(3(x_2)^2) \\[1ex] &= 0 + 10x_1 + 3.2x_2 \\[1ex] &= 10x_1 + 6x_2 \end{align}\]